Tautan

Jarak Titik, Garis, dan Bidang

JARAK ANTARA TITIK, GARIS, DAN BIDANG

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Antara himpunan semua titik yang membentuk G1 dan himpunan semua titik yang membentuk G2 dapat dilakukan pemasangan satu-satu, setiap pasang titik itu dihubungkan dengan sebuah ruas garis. Hasilnya dapat berupa himpunan ruas garis- ruas garis yang tak berhingga banyaknya yang pada umumnya titik sama panjang, yaitu himpunan (d1, d2, d3, d4, d5…), jika d1, d2 dan seterusnya menyatakan ruas garis-ruas garis itu. Dari himpunan ruas garis itu pasti ada yang terpendek, misalnya ruas garis d1, maka d1 itu disebut jarak antara bangun G1 dan G2.

 

Definisi 1

            Jarak antara dua buah bangun adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik dari kedua bangun itu.

 

Definisi 2

Jarak antara dua buah titik adalah ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu.

d = jarak antara titik A dan B

d merupakan ruas garis

 

 

 

 

 

Definisi 3

Jarak antara sebuah titik dan sebuah garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dan titik kaki garis tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.3 menunjukkan jarak antara titik P dan garis g. Jika P1 adalah titik kaki garis tegak lurus dari P ke g, atau P1 juga disebut proyeksi P pada garis g, maka jarak antara titik P dan garis g, yaitu d, ditunjukkan oleh ruas garis 1.

 

Definisi 4

Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.4 menunjukkan jrak antara titik P dan. bidang α. Q adalah sebarang titik pada α. Dimana titik Q lainnya selalu menghasilkan segitiga PP1Q yang siku-siku di titik P1 dan PQ sebagai sisi miringnya. Maka PP1 adalah jarak dari titik P ke bidang α.

            Dengan demikian selalu berlaku 1 < , yang berarti 1 merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P dengan titik-titik pada bidang α.

Definisi 5

Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain.

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.5 menunjukkan jarak antara a dan b. P adalah sebarang titik pada garis a dan P1 adalah proyeksi titik P pada garis b. Jarak antara garis a dan b dinyatakan oleh 1. Jika dipilih titik sebarang lainnya, misalnya Q, dan proyeksinya pada garis b adalah Q1, maka jarak antara garis a dan b juga dapat dinyatakan oleh 1.

 

Definisi 6

Jarak antara dua bidang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang yang kedua.

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.6 menunjukkan jarak antara dua buah bidang yang sejajar α dan β. Titik P adalah sebarang titik pada bidang α dan P1 adalah proyeksi P pada bidang β. Maka jarak antara bidang α dan β dinyatakan oleh ruas garis PP1.

Jika titik Q sembarang titik yang lain pada α dan Q1 proyeksinya  pada β, maka anda dapat membuktikan sendiri bahwa QQ1=PP1. Ini berarti bahwa dapat dipilih sebarang titik pada salah satu bidang itu untuk meninjau atau mencari jarak antara dua bidang sejajar.

Karena PP1 bidang β, sedang α//β, maka PP1, juga tegak lurus pada bidang α. Jadi jarak antara dua bidang sejajar merupakan ruas garis penghubung yang tegak lurus pada bidang tersebut.

Akhirnya anda akan diperkenalkan pada dengan jarak antara dua garis yang bersilangan. Pada dasarnya pengertian tentang jarak antara dua bangun tetap berlaku, hanya yang menjadi pertanyaan adalah manakah yang menjadi ruas garis hubung terpendek yang dimaksud. Ruas garis hubung terpendek itu berupa ruas garis yang memotong tegak lurus garis yang dimaksud.

 

Definisi 7

Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu.

Melukis ruas garis yang memotong tegak lurus dua buah garis a dan b yang bersilangan.

  • Cara I

i)        Buatlah garis b1 yang memotong a dan sejajar dengan garis b.

ii)      Buatlah bidang α yang melalui a dan b1, bidang α adalah bidang yang letaknya sejajar dengan garis b, karena memuat garis b1 yang sejajar b.

iii)    Carilah proyeksi garis b pada bidang α, samakan proyeksinya berupa garis b2. Garis b2 ini letaknya sejajar dengan garis b dan memotong garis a, misalnya di titik P.

iv)    Buatlah melalui P garis yang tegak lurus pada bidang α, yang akan memotong garis b misalnya dititik R.

v)      PR merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus pada garis a di titik P dan memotong tegak lurus garis b di titik R. jadi PR menyatakan jarak antara garis a dan garis b. perhatikan gambar 2.7 dan gambar 2.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

Tentukan jarak antara garis BD dan EG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

Garis BD dan EG merupakan dua garis yang bersilangan. Untuk mencari jarak BD dan EG dengan menggunakan cara I.

  1. Buatlah garis MN yang memotong garis BD dan sejajar dengan garis EG
  2. Buatlah bidang ABCD yang melalui BD dan MN, bidang ABCD terletak sejajar dengan garis  EG karena memuat garis MN yang sejajar dengan EG.
  3. Proyeksikan titik E dan G pada bidang ABCD. Proyeksi titik E adalah A, dan proyeksi titik G adalah C.
  4. Buat garis dari titik proyeksi tadi yaitu titik A dan C, sehingga membentuk garis AC yang sejajar dengan garis EG dan memotong garis BD di titik P.
  5. Buat melalui titik P garis yang tegak lurus dengan bidang ABCD, garis AC, dan garis BD, yang akan memotong garis EG di titik Q.
  6. Ruas garis PQ merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus garis BD di titik P dan memotong tegak lurus garis EG di titik Q.
  7. Jadi ruas garis PQ merupakan jarak antara garis BD dan garis EG.
  8. Karena panjang PQ = AE = BF = CG = DH = 3cm

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Cara II

i)        Buatlah sebuah bidang α yang memotong tegak lurus garis a misalnya di titik P

ii)      Proyeksikan garis b pada bidang α, dinamakan hasil proyeksi b1.

iii)    Pada bidang α, butlah sebuah garis melalui titik P yang memotong tegak lurus garis b1, misalnya di titik Q.

iv)    Melalui titiks Q buatlah garis tegak lurus bidang α yang  memotong garis b, misalnya di titik B.

v)      Melalui titik B, buatlah garis sejajar QP yang memotng garis a, misalnya di titik A.

vi)    Ruas garis  merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus gatis a di titik A dan memotong tegak lurus garis b di titk B.

Proses menentukan jarak seperti di atas di tunjukan oleh gambar 2.9 dan gambar 3.0.

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

Tentukan jarak antara garis AE dan DF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

Garis AE dan DF merupakan dua garis yang bersilangan. Untuk mencari jarak AE dan DF dengan menggunakan cara II.

  1. Buat bidang yang memotong tegak lurus AE yaitu bidang ABCD di titik A.
  2. Proyeksikan garis DF pada bidang ABCD dihasilkan garis DB.
  3. Melalui titik A, buat garis yang memotong tegak lurus DB di titik P.
  4. Melalui P, buat garis yang sejajar AE, tegak lurus bidang ABCD, dan memotong DF di titik Q.
  5. Melalui Q, buat garis yang sejajar dengan AP dan memotong AE di titik R.
  6. QR merupakan jarak antara AE dan DF karena QR memotong tegak lurus DF di titik Q, dan Memotong tegak lurus AE di titik R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aturan perkalian dalam segitiga ABD.

DA . AB = AP . BD

3 . 3 = AP . 3

9 = AP . 3

AP =  cm

 

 

  • Cara III

Pada kejadian khusus, jika garis a dan b bersilangan tegak lurus. Maka cara II di atas dapat lebih sederhana langkahnya, karena salah satu garisnya pasti terletak pada sebuah bidang yang tegak lurus pada garis yang lain. Perhatikan gambar 3.1

 

 

 

 

 

 

 

 
 

Gambar 3.1

 

 

 

 

Caranya :

i)        Buatlah bidang α melalui b yang memotong tegak lurus garis a di titik A.

ii)      Pada bidang α, melalui A buatlah garis yang memotong tegak lurus b di titik B.

iii)    Ruas garis  menyatakan jarak antara garis a dan garis b.

Contoh:

Tentukan jarak antara garis AE dan GH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

AE dan GH merupakan dua garis yang bersilangan yang tegak lurus, maka untuk mengerjakan contoh soal tersebut, kita gunakan cara III.

  1. Buatlah bidang yang melalui AE dan memotong tegak lurus GH di titik H, bidang itu adalah ADHE.
  2. Pada bidang ADHE, melalui titik H buatlah garis yang memotong tegak lurus AE di titik E.
  3. Garis HE merupakan jarak antara AE dan GH karena HE memotong tegak lurus AE di titik E dan memotong tegak lurus GH di titik H.

HE = 3 cm.

Contoh Soal

 

  1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 6 cm, titik K adalah titik tengah rusuk BC. Carilah jarak dari :

a)      Titik A dan titik G

b)      A ke garis BD

c)      Titik E ke bidang diagonal ADGF

Pembahasan:

 

 

 

a)      Titik A ke titik G

Ruas garis yang menghubungkan titik A dan titik G adalah diagonal ruang dari sebuah kubus, maka jarak titik A dan G adalah 6 cm

b)      A ke garis BD

BD merupakan diagonal bidang dari ABCD dan titik A terletak pada bidang ABCD, maka jarak dari A ke garis BD adalah  . AC = AQ

 . 6    = 3     (Q titik proyeksi dari A ke garis BD)

c)      Jarak antara titik E ke bidang diagonal ADGF adalah ES, dimana S merupakan proyeksi dari E ke bidang diagonal ADGF, dan merupakan titik potong dari AF dan EB, maka ES =   . EB =      . 6  = 3

                   

  1. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Tentukan :

a)      Jarak antara BC dan EH!

b)      Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH

Pembahasan :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)      BC dan EH terletak pada bidang BCHE. BC dan EH sejajar. Jarak antara BC dan EH sama dengan panjang BE.

Perhatikan bahwa  siku-siku di A.

Dengan teorema Pythagoras, berlaku :

BE2 =  EA2 + AB2

BE2 =  32 + 42

BE2 =  9 + 16

BE2 =  25

BE  =  5

Jadi, jarak antara BC dan EH adalah 5 cm.

b)      Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH dapat diwakili oleh panjang AE, karena AE tegak lurus kedua bidang.

AE = 3 cm

Jadi, jarak antara bidang ABCD dengan bidang EFGH adalah 3 cm.

  1. Pada sebuah kubus yang rusuk 3 cm bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG dan DH.

a)      Tentukan jarak antara bidang ABFE dan bidang CDHG

b)      Lukis dan tentukan jarak antara rusuk AE dan diagonal sisi DF

Pembahasan :

 

 

 

a)      ABFE dan CDHG merupakan bidang yang sejajar, untuk mencari jarak ABFE dan CDHG dengan memproyeksikan salah satu titik ABFE, misalnya titik A ke bidang CDHG dengan memproyeksikan salah satu titik ABFE, misalnya titik A ke bidang CDHG proyeksi titik A ke bidang CDHG adalah titik D. Maka AD adalah jarak antara bidang ABFE dan CDHG, AD = 3 cm.

b)      AE dan DF merupakan dua rusuk yang bersilangan. Untuk mencari jarak AE dan DF dengan menggunakan cara 2.

  • ABCD bidang yang tegak lurus AE, memotong AE di titik A
  • Memproyeksikan DF ke bidang ABCD, hasilnya DB
  • Melalui titik A dibuat garis yang memotong tegak lurus BD di titik L
  • Melalui titik L, dibuat garis tegak lurus  bidang ABCD yang memotong DF, misalnya di titik P
  • Melalui titik P buat garis sejajar AL dan memotong AE missal di titik N.
  • Jadi NP merupakan jarak antara AE dan DF
  • Panjang NP = AL =   . AC

      =   . 3

                                                      =    cm

 


DAFTAR PUSTAKA

 

Aini, Nurul. Materi Kuliah Geometri Ruang. 2008. Jombang : STKIP PGRI Jombang.

http://djihad07.blogspot.com/2011/03/jarak-titik-dan-bidang-dalam-ruang.html

(Diakses : Rabu, 21 maret 2012 19.50)

Iswadji, Djoko, dkk. Materi Pokok Geometri Ruang. 1993. Jakarata : Universitas Terbuka.

Zaelani, Ahmad. 1700 Soal Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA SMA/MA. 2000. Jakarta: YBAMA WIDYA.

 

 Gambar

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s