Rand Corporation (Strategi Menghancurkan Islam Oleh AS)

Rand Corporation (Strategi Menghancurkan Islam Oleh AS)
Setelah runtuhnya ideologi komunis, kapitalis yang disimbolkan dengan negara AS mulai mengarahkan
sasarannya ke dunia Islam. Bukan hanya dengan dalih war on terrorism tapi juga dengan

perang ide/pemikiran.

Dalam dokumen RAND Corporation 2006 bertajuk Building Moderat Moslem Network menyebutkan kemenangan tertinggi AS hanya bisa dicapai ketika ideologi Islam didiskriditkan dalam pandangan mayoritas penduduk ditempat tinggal mereka sendiri dan dihadapan kelompok yang diam-diam menjadi pendukungnya.

Di tahun 2007, RAND Corporation mengeluarkan laporan yang isinya bertujuan bagaimana “menjinakkan” kalangan fundamentalis/radikal Islam dan membawanya kearah pemikiran Islam versi Barat
yang moderat dan liberal.

Mereka memberikan bantuan kepada pihak yang dinilai cepat dalam memberikan dampak dalam perang pemikiran ini,yakni :

1. Akademisi dan intelektual
2. Muslim yang liberal dan sekuler
3. Mahasiswa muda religious yang moderat
4. Komunitas aktivisOrganisasi-organisasi yang mengkampanyekan persamaan gender
5. Wartawan dan penulis moderat

Politik Belah Bambu

Di tahun 2003 Rand Corporation mengeluarkan hasil kajiannya yang berjudul ‘Civil Democratic Islam’. Mereka membagi Islam dalam kelompok Fundamentalis,Tradisionalis, Modernis dan Sekuleris.

Rand Corporation merekomendasikan langkah yang perlu dilakukan terhadap kelompok-kelompok tersebut adalah dengan politik belah bambu. Mendukung satu pihak dan menjatuhkan pihak lain, berikutnya membentrokkan antar kelompok tersebut.

Berikut langkah-langkah mereka:

Pertama, support the modernists First ( mendukung kelompok medernis).
Caranya dengan menerbitkan karya-karya mereka dengan biaya yang disubsidi, mendorong untuk menulis bagi audiens massa dan bagi kaum muda, memperkenalkan pandangan-pandangan mereka dalam kurikulum pendidikan Islam dan memberikan mereka suatu platform publik.

Kedua, support the traditionalists against the fundamentalists (mendukung kaum tradisionalis dalam menentang kaum fundamentalis).
Caranya dengan menerbitkan kritikan-kritikan terhadap fundamentalis dan mendorong kaum tradisionalis agar dekat dengan kaum liberalis dan juga mendorong tradisionalis untuk dekat dengan kaum sufi.

Ketiga, confront and oppose the fundamentalist (mengkonfrontir dan menentang kaum fundamentalis).
Caranya dengan menentang tafsir mereka atas Islam dan menunjukkan ketidakakuratannya, dan mengungkapkan keterkaitan mereka dengan kelompok ilegal.

Keempat, secara selektifmen dukung kaum sekuler. Mendorong ide bahwa agama dan Negara dapat dipisahkan dalam Islam dan hal itu tidak membahayakan keimanan tapi malah akan memperkuatnya.

Sumber: http://id.shvoong.com/society-and-news/opinion/2096342-rand-corporation-strategi-menghancurkan-islam/#ixzz26rZRuw6d

Tautan

Jarak Titik, Garis, dan Bidang

JARAK ANTARA TITIK, GARIS, DAN BIDANG

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Antara himpunan semua titik yang membentuk G1 dan himpunan semua titik yang membentuk G2 dapat dilakukan pemasangan satu-satu, setiap pasang titik itu dihubungkan dengan sebuah ruas garis. Hasilnya dapat berupa himpunan ruas garis- ruas garis yang tak berhingga banyaknya yang pada umumnya titik sama panjang, yaitu himpunan (d1, d2, d3, d4, d5…), jika d1, d2 dan seterusnya menyatakan ruas garis-ruas garis itu. Dari himpunan ruas garis itu pasti ada yang terpendek, misalnya ruas garis d1, maka d1 itu disebut jarak antara bangun G1 dan G2.

 

Definisi 1

            Jarak antara dua buah bangun adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik dari kedua bangun itu.

 

Definisi 2

Jarak antara dua buah titik adalah ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu.

d = jarak antara titik A dan B

d merupakan ruas garis

 

 

 

 

 

Definisi 3

Jarak antara sebuah titik dan sebuah garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dan titik kaki garis tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.3 menunjukkan jarak antara titik P dan garis g. Jika P1 adalah titik kaki garis tegak lurus dari P ke g, atau P1 juga disebut proyeksi P pada garis g, maka jarak antara titik P dan garis g, yaitu d, ditunjukkan oleh ruas garis 1.

 

Definisi 4

Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.4 menunjukkan jrak antara titik P dan. bidang α. Q adalah sebarang titik pada α. Dimana titik Q lainnya selalu menghasilkan segitiga PP1Q yang siku-siku di titik P1 dan PQ sebagai sisi miringnya. Maka PP1 adalah jarak dari titik P ke bidang α.

            Dengan demikian selalu berlaku 1 < , yang berarti 1 merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P dengan titik-titik pada bidang α.

Definisi 5

Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain.

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.5 menunjukkan jarak antara a dan b. P adalah sebarang titik pada garis a dan P1 adalah proyeksi titik P pada garis b. Jarak antara garis a dan b dinyatakan oleh 1. Jika dipilih titik sebarang lainnya, misalnya Q, dan proyeksinya pada garis b adalah Q1, maka jarak antara garis a dan b juga dapat dinyatakan oleh 1.

 

Definisi 6

Jarak antara dua bidang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang yang kedua.

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 2.6 menunjukkan jarak antara dua buah bidang yang sejajar α dan β. Titik P adalah sebarang titik pada bidang α dan P1 adalah proyeksi P pada bidang β. Maka jarak antara bidang α dan β dinyatakan oleh ruas garis PP1.

Jika titik Q sembarang titik yang lain pada α dan Q1 proyeksinya  pada β, maka anda dapat membuktikan sendiri bahwa QQ1=PP1. Ini berarti bahwa dapat dipilih sebarang titik pada salah satu bidang itu untuk meninjau atau mencari jarak antara dua bidang sejajar.

Karena PP1 bidang β, sedang α//β, maka PP1, juga tegak lurus pada bidang α. Jadi jarak antara dua bidang sejajar merupakan ruas garis penghubung yang tegak lurus pada bidang tersebut.

Akhirnya anda akan diperkenalkan pada dengan jarak antara dua garis yang bersilangan. Pada dasarnya pengertian tentang jarak antara dua bangun tetap berlaku, hanya yang menjadi pertanyaan adalah manakah yang menjadi ruas garis hubung terpendek yang dimaksud. Ruas garis hubung terpendek itu berupa ruas garis yang memotong tegak lurus garis yang dimaksud.

 

Definisi 7

Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu.

Melukis ruas garis yang memotong tegak lurus dua buah garis a dan b yang bersilangan.

  • Cara I

i)        Buatlah garis b1 yang memotong a dan sejajar dengan garis b.

ii)      Buatlah bidang α yang melalui a dan b1, bidang α adalah bidang yang letaknya sejajar dengan garis b, karena memuat garis b1 yang sejajar b.

iii)    Carilah proyeksi garis b pada bidang α, samakan proyeksinya berupa garis b2. Garis b2 ini letaknya sejajar dengan garis b dan memotong garis a, misalnya di titik P.

iv)    Buatlah melalui P garis yang tegak lurus pada bidang α, yang akan memotong garis b misalnya dititik R.

v)      PR merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus pada garis a di titik P dan memotong tegak lurus garis b di titik R. jadi PR menyatakan jarak antara garis a dan garis b. perhatikan gambar 2.7 dan gambar 2.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

Tentukan jarak antara garis BD dan EG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

Garis BD dan EG merupakan dua garis yang bersilangan. Untuk mencari jarak BD dan EG dengan menggunakan cara I.

  1. Buatlah garis MN yang memotong garis BD dan sejajar dengan garis EG
  2. Buatlah bidang ABCD yang melalui BD dan MN, bidang ABCD terletak sejajar dengan garis  EG karena memuat garis MN yang sejajar dengan EG.
  3. Proyeksikan titik E dan G pada bidang ABCD. Proyeksi titik E adalah A, dan proyeksi titik G adalah C.
  4. Buat garis dari titik proyeksi tadi yaitu titik A dan C, sehingga membentuk garis AC yang sejajar dengan garis EG dan memotong garis BD di titik P.
  5. Buat melalui titik P garis yang tegak lurus dengan bidang ABCD, garis AC, dan garis BD, yang akan memotong garis EG di titik Q.
  6. Ruas garis PQ merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus garis BD di titik P dan memotong tegak lurus garis EG di titik Q.
  7. Jadi ruas garis PQ merupakan jarak antara garis BD dan garis EG.
  8. Karena panjang PQ = AE = BF = CG = DH = 3cm

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Cara II

i)        Buatlah sebuah bidang α yang memotong tegak lurus garis a misalnya di titik P

ii)      Proyeksikan garis b pada bidang α, dinamakan hasil proyeksi b1.

iii)    Pada bidang α, butlah sebuah garis melalui titik P yang memotong tegak lurus garis b1, misalnya di titik Q.

iv)    Melalui titiks Q buatlah garis tegak lurus bidang α yang  memotong garis b, misalnya di titik B.

v)      Melalui titik B, buatlah garis sejajar QP yang memotng garis a, misalnya di titik A.

vi)    Ruas garis  merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus gatis a di titik A dan memotong tegak lurus garis b di titk B.

Proses menentukan jarak seperti di atas di tunjukan oleh gambar 2.9 dan gambar 3.0.

 

 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

Tentukan jarak antara garis AE dan DF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

Garis AE dan DF merupakan dua garis yang bersilangan. Untuk mencari jarak AE dan DF dengan menggunakan cara II.

  1. Buat bidang yang memotong tegak lurus AE yaitu bidang ABCD di titik A.
  2. Proyeksikan garis DF pada bidang ABCD dihasilkan garis DB.
  3. Melalui titik A, buat garis yang memotong tegak lurus DB di titik P.
  4. Melalui P, buat garis yang sejajar AE, tegak lurus bidang ABCD, dan memotong DF di titik Q.
  5. Melalui Q, buat garis yang sejajar dengan AP dan memotong AE di titik R.
  6. QR merupakan jarak antara AE dan DF karena QR memotong tegak lurus DF di titik Q, dan Memotong tegak lurus AE di titik R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aturan perkalian dalam segitiga ABD.

DA . AB = AP . BD

3 . 3 = AP . 3

9 = AP . 3

AP =  cm

 

 

  • Cara III

Pada kejadian khusus, jika garis a dan b bersilangan tegak lurus. Maka cara II di atas dapat lebih sederhana langkahnya, karena salah satu garisnya pasti terletak pada sebuah bidang yang tegak lurus pada garis yang lain. Perhatikan gambar 3.1

 

 

 

 

 

 

 

 
 

Gambar 3.1

 

 

 

 

Caranya :

i)        Buatlah bidang α melalui b yang memotong tegak lurus garis a di titik A.

ii)      Pada bidang α, melalui A buatlah garis yang memotong tegak lurus b di titik B.

iii)    Ruas garis  menyatakan jarak antara garis a dan garis b.

Contoh:

Tentukan jarak antara garis AE dan GH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm!

Jawab:

AE dan GH merupakan dua garis yang bersilangan yang tegak lurus, maka untuk mengerjakan contoh soal tersebut, kita gunakan cara III.

  1. Buatlah bidang yang melalui AE dan memotong tegak lurus GH di titik H, bidang itu adalah ADHE.
  2. Pada bidang ADHE, melalui titik H buatlah garis yang memotong tegak lurus AE di titik E.
  3. Garis HE merupakan jarak antara AE dan GH karena HE memotong tegak lurus AE di titik E dan memotong tegak lurus GH di titik H.

HE = 3 cm.

Contoh Soal

 

  1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 6 cm, titik K adalah titik tengah rusuk BC. Carilah jarak dari :

a)      Titik A dan titik G

b)      A ke garis BD

c)      Titik E ke bidang diagonal ADGF

Pembahasan:

 

 

 

a)      Titik A ke titik G

Ruas garis yang menghubungkan titik A dan titik G adalah diagonal ruang dari sebuah kubus, maka jarak titik A dan G adalah 6 cm

b)      A ke garis BD

BD merupakan diagonal bidang dari ABCD dan titik A terletak pada bidang ABCD, maka jarak dari A ke garis BD adalah  . AC = AQ

 . 6    = 3     (Q titik proyeksi dari A ke garis BD)

c)      Jarak antara titik E ke bidang diagonal ADGF adalah ES, dimana S merupakan proyeksi dari E ke bidang diagonal ADGF, dan merupakan titik potong dari AF dan EB, maka ES =   . EB =      . 6  = 3

                   

  1. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Tentukan :

a)      Jarak antara BC dan EH!

b)      Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH

Pembahasan :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)      BC dan EH terletak pada bidang BCHE. BC dan EH sejajar. Jarak antara BC dan EH sama dengan panjang BE.

Perhatikan bahwa  siku-siku di A.

Dengan teorema Pythagoras, berlaku :

BE2 =  EA2 + AB2

BE2 =  32 + 42

BE2 =  9 + 16

BE2 =  25

BE  =  5

Jadi, jarak antara BC dan EH adalah 5 cm.

b)      Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH dapat diwakili oleh panjang AE, karena AE tegak lurus kedua bidang.

AE = 3 cm

Jadi, jarak antara bidang ABCD dengan bidang EFGH adalah 3 cm.

  1. Pada sebuah kubus yang rusuk 3 cm bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG dan DH.

a)      Tentukan jarak antara bidang ABFE dan bidang CDHG

b)      Lukis dan tentukan jarak antara rusuk AE dan diagonal sisi DF

Pembahasan :

 

 

 

a)      ABFE dan CDHG merupakan bidang yang sejajar, untuk mencari jarak ABFE dan CDHG dengan memproyeksikan salah satu titik ABFE, misalnya titik A ke bidang CDHG dengan memproyeksikan salah satu titik ABFE, misalnya titik A ke bidang CDHG proyeksi titik A ke bidang CDHG adalah titik D. Maka AD adalah jarak antara bidang ABFE dan CDHG, AD = 3 cm.

b)      AE dan DF merupakan dua rusuk yang bersilangan. Untuk mencari jarak AE dan DF dengan menggunakan cara 2.

  • ABCD bidang yang tegak lurus AE, memotong AE di titik A
  • Memproyeksikan DF ke bidang ABCD, hasilnya DB
  • Melalui titik A dibuat garis yang memotong tegak lurus BD di titik L
  • Melalui titik L, dibuat garis tegak lurus  bidang ABCD yang memotong DF, misalnya di titik P
  • Melalui titik P buat garis sejajar AL dan memotong AE missal di titik N.
  • Jadi NP merupakan jarak antara AE dan DF
  • Panjang NP = AL =   . AC

      =   . 3

                                                      =    cm

 


DAFTAR PUSTAKA

 

Aini, Nurul. Materi Kuliah Geometri Ruang. 2008. Jombang : STKIP PGRI Jombang.

http://djihad07.blogspot.com/2011/03/jarak-titik-dan-bidang-dalam-ruang.html

(Diakses : Rabu, 21 maret 2012 19.50)

Iswadji, Djoko, dkk. Materi Pokok Geometri Ruang. 1993. Jakarata : Universitas Terbuka.

Zaelani, Ahmad. 1700 Soal Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA SMA/MA. 2000. Jakarta: YBAMA WIDYA.

 

 Gambar

 

Foto0159

BIDANG DATAR (JAJAR GENJANG, TRAPESIUM, DAN BELAH KETUPA)

PEMBAHASAN

JAJAR GENJANG

 

CD

 

AB

 

AB = CD → kongruen

Sehingga

  1. A.     Definisi


Segiempat dengan kekhususan yaitu sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

  1. B.     Prinsip-prinsip :
  2. Sisi berhadapan pada jajar genjang adalah sejajar.
  3. Diagonal jajar genjang membagi jajar genjang itu sendiri menjadi dua segitiga yang kongruen.
  4. Sisi-sisi berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen.
  5. Sudut-sudut berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen.
  6. Sudut-sudut berturutan pada jajar genjang adalah suplementer.
  1. Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua satu sama lain.

Bukti bahwa segiempat adalah jajar genjang

  1. Suatu segi empat (quadrilateral) merupakan jajar genjang jika sisi-sisinya yang berhadapan adalah sejajar.
  2. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika sisi-sisinya yang berhadapan  adalah sejajar.
  3. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika dua sisi-sisinya adalah kongruen dan sejajar.
  4. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika sudut-sudutnya yang berhadapan adalah kongruen
  5. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika diagonal-diagonalnya saling membagi dua satu sama lain.
  1. C.     Sifat-sifat (Teorema)
  2. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.

Bukti :

Perhatikan ∆ ABD dan ∆ CDB

BD = DB (sekutu)

< B1 = < D2 ( berseberangan dalam)

< D1 = < B2 ( berseberangan dalam)

Jadi ∆ ABD      ∆ CDB (sd, ss, sd)

Akibatnya AB = CD, AD = CB ( terbukti)

  1. Jumlah sudut pada satu sisi adalah 1800.

Bukti :

  1. Karena AB ǁ CD

< A dengan < D dan < B dengan < C merupakan sudut sepihak sehingga :

< A + < D = 1800(sudut sepihak dalam)

< B  + < C = 1800(sudut sepihak dalam)

  1. Karena AD ǁ BC

< A dengan < B dan < D dengan < C merupakan sudut sepihak sehingga :

< A + < B = 1800

< D + < C = 1800

Terbukti bahwa jumlah besar sudut-sudut yang berdekatan adalah 1800

  1. Luas jajaran genjang sama dengan hasil kali panjang sisi kali jarak sisi itu dengan sisi yang sejajar.

Bukti :

Cara I

Tarik garis DE ± AB, BF ± CD

∆ ADE dan ∆ BCF

AE = CF

AD = BC                                           KONGRUEN  (ss, ss, sd)

< E = < F

Maka L ∆ ADE  L ∆ BCF

Luas jajar genjang ABCD sama dengan luas persegi panjang EBFD ditambah dua kali L ∆ AED.

L ∆ AED          = 1/2 AE x DE

L        EBFD    = EB x DE

L        ABCD   = BE x DE + 2 x 1/2 AE x DE

= BE x DE + AE x DE

= (BE + AE) x DE

= AB x DE

Cara II :

∆ ADB      ∆ BCD, sehingga:

AB = CD

< A = < C                                          KONGRUEN (ss, sd, ss)

AD = BC

L ∆ ADB = 1/2  AB x DE

L ∆ BCD = 1/2  FB x CD

Karena ∆ ADB      ∆ BCD, maka L ∆ ADB = L ∆ BCD sehingga

L       ABCD   = L ∆ ADB + L ∆ BCD

= 2 x L ∆ ADB

= 2 x 1/2 AB x DE

= AB x DE

DE jarak dua sisi sejajar AB dan DC. Jadi terbukti luas jajar genjang sama dengan hasil panjang sisi kali jarak sisi itu dengan sisi yang sejajar.

  1. Pada setiap jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Bukti :

Perhatikan gambar dibawah ini. Kita akan membuktikan bahwa AB = CD, BC = AD, AB || DC, dan BC || AD.

∆ ABD      ∆ BCD, sehingga:

AD = BC

< A = < C                                            KONGRUEN (ss, sd, ss)

AB = CD

  • AB → CD maka AB = CD dan AB || CD (AB sejajar CD)
  • BC → DA maka BC = DA dan BC || DA (BC sejajar DA)

Jadi, terbukti bahwa AB sejajar dan sama panjang dengan CD serta BC  sejajar dan sama panjang dengan DA.

  1. Pada setiap jajar genjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Akan dibuktikan bahwa < A = < C dan < B = < D.

Perhatikan gambar di atas.

∆ ABD     ∆ CDB

< A = < C → BD = BD

< B = < D → CD = AB

Jadi, terbukti bahwa < A = < C dan < B = < D.

  1. Pada setiap jajar genjang kedua diagonal saling membagi-dua sama panjang yang berpotongan di satu titik.

Bukti :

< B1 = < D2 (berseberangan dalam) → AO = CO

< B2 = < D1 (berseberangan dalam) → CO = AO

< A1 = < C2 (berseberangan dalam) → DO = BO

< A2 = < C1 (berseberangan dalam) → BO = DO

Jadi terbukti kedua diagonal saling membagi-dua sama panjang yang berpotongan di satu titik.

.


BELAH KETUPAT

  1. A.    Definisi

Segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, serta perpotongan diagonalnya membentuk sudut siku-siku.  

  1. B.     Ciri-Ciri Belah Ketupat
    1. Mempunyai empat rusuk yang sama panjang
    2. Mempunyai dua buah sudut bukan siku-siku yang masing masing sama besar dengan sudut yang berada di hadapannya
    3. Mempunyai dua diagonal yang tidak sama panjang
    4. Mempunyai 2 simetri lipat dan dua simetri putar
  2. C.    Sifat-sifat (Teorema)
    1. Semua sisi pada setiap belah ketupat sama panjang.

Bukti :

Belah ketupat ABCD dibentuk dari dua buah segitiga sama kaki yang kongruen, yaitu ∆ ABC dan ∆ ADC.

∆ ABC     ∆ ADC

AB = AD

BC = CD                                       KONGRUEN (ss, ss, ss)

AC = AC

∆ ABC sama kaki, maka

AB = BC

∆ ADC sama kaki, maka

CD = AD

Maka : AB = AD = DC = AD (terbukti)

  1. Pada setiap belah ketupat diagonalnya merupakan sumbu simetri.

Bukti :

  1. ∆ ABC sama kaki dengan AB = CB, BO merupakan sumbu simetri.
  2. ∆ ADC sama kaki dengan AD = DC, DO maerupakan sumbu simetri.
  3. < BOC dan < COD berpelurus, maka BD merupakan sumbu simetri.
  4. < BOC dan < BOA berpelurus, maka AC merupakan sumbu simetri.
  5. Jadi terbukti BD dan AC merupakan sumbu simetri.
  6. Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Bukti :

Cara I.

  1. Letak belah ketupat ABCD dibalik menurut simetri BD

Maka < A→ < C sehingga :

< A = < C…..(1)

  1. Letak belah ketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC maka  < B → < D sehingga < B = < D…..(2)
  2. Dari (1) dan (2), maka :

< A = < C,  < B = < D (Terbukti)

Cara II

  • ∆ ABD     ∆ CBD, maka :

< A = < C → BD = BD (berimpit)

  • Segitiga yang membentuk belah ketupat ABCD merupakan segitiga sama kaki, maka dalam ∆ ABD, < ABD = < ADB  dan dalam   ∆ CBD, < CBD = < CDB.

< ABD = < ADB → AD = AB

< CBD = < CDB → CD = CB

  • ∆ BAC     ∆ DAC, maka :

< B = < D → AC = AC (berimpit)

  • Segitiga yang membentuk belah ketupat ABCD merupakan segitiga sama kaki, maka dalam ∆ BAC, < BAC = < BCA dan dalam   ∆ DAC, < DAC = < DCA.

< BAC = < BCA → BC = BA

< DAC = < DCA → CD = AD

Jadi, dalam belah ketupat ABCD terdapat < A = < C dan < B = < D. Sudut-sudut yang saling berhadapan dalam belah ketupat sama besar.

  1. Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya saling membagi-dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

Bukti :

Cara I

  • Misalkan O adalah titik tengah diagonal BD. Segitiga sama kaki ABD dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu     ∆ AOB dan ∆ AOD dengan AO sebagai sumbu simetri ∆ ABD,  BO = DO, < OAB = < OAD, dan < AOB = < AOD = 90o.

Serupa dengan cara di atas, CO adalah sumbu simetri dari ∆ CBD, < OCB = < OCD, dan < COB = < COD = 90o.

Hal ini berarti < AOB + < COB = 2 x 90o = 180o

< AOB + < AOD = 2 x 90o = 180o.

Jadi, AC dan BD merupakan diagonal ketupat.

  • Karena BD diagonal belah ketupat ABCD yang diperoleh dari pemutaran ∆ ABD pada garis BD maka : A → C, O → O sehingga AO → CO. Hal ini berarti AO = CO.

Cara II

< A1 = < C2 (berseberangan dalam) → BO = DO

< A2 = < C­1 (berseberangan dalam) → DO = BO

< B1 = < D2 (berseberangan dalam) → AO = CO

< B2 = < D1 (berseberangan dalam) → CO = AO

< AOB = < AOD =  < AOD = < COD = 90o (berpenyiku)

< BOD = 180o (berpelurus)

< AOC = 180o (berpelurus)

< COD = < AOD = 90o

< BOD = < AOB + < AOD = 2 x < AOB = 2 x 90o = 180o

< AOC = < AOD + < COD = 2 x < AOD = 2 x 90o = 180o

Jadi, AC dan BD merupakan diagonal ketupat yang saling membagi-dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

  1. Berdasarkan Luas Jajar Genjang

Bukti :

Karena belah ketupat merupakan jajar genjang, maka :

L Belah Ketupat = alas x tinggi

L = a x t

  1. Berdasarkan Luas Segitiga

Bukti :

Luas belah ketupat ABCD   = L ∆ ABD + L ∆BDC

= ½ BD x OA + ½ BD x OC

= ½ BD (OA + OC)

= ½ BD x AC

BD dan AC merupakan diagonal

Sehingga dapat disimpulkan :

Luas Belah Ketupat ABCD =  1/2 x diagonal x diagonal

 

 

 

 

PENUTUP

Kesimpulan

ü  Jajar Genjang adalah segi empat yang sepasang-pasang segitiga sejajar dan         sama panjang.

ü  Pada setiap jajaran genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

ü  Belah ketupat adalah segi empat yang sisi-sisinya sama panjang.

ü  Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

DAFTAR PUSTAKA

 

Gunawan, K. Adi, Roeswati. 2002. Tangkas Matematika SMP. Surabaya : Kartika Hartono. 2001. Geometri. Surabaya : UNESA University Prest

Nugraha, Setyo, Abu Tofani. 2008. Rumus-Rumus Matematika. Surabaya : Kartika.

Rich, Barnett. 2005. Geometri. Jakarta : Erlangga

http://www.proprofs.com/quis-school/story.php?title=belah-ketupat-layang-layang-rumadi (diakses : 12:30 WIB, 7-10-2011)

http://www.proprofs.com/quis-school/story.php?title=jajargenjang-dan-trapesium-rumadi (diakses : 12:30 WIB, 7-10-2011)

http://matematikaomson.blogspot.com/2009/07/luas-jajaran-genjang.html (diakses : 18:30 WIB, 10-10-2011)

http://duniamat.blogspot.com/2010/07/belah-ketupat.html (diakses : 18:40 WIB, 10-10-2011)

http://duniamat.blogspot.com/2010/07/jajar-genjang.html (diakses : 18:50 WIB, 10-10-2011)

Latihan Soal

 

Jajar Genjang

 

  1. Luas jajar genjang  PQRS pada gambar dibawah adalah 72  . PQ = 12 cm dan 8 cm . keliling PQRS ……..

Jawab :

Luas PQRS = QU x PS

72    = 8 x PS

PS    =

= 9

  1. Pada sebuah jajar genjang diketahui luasnya 250 cm2, jika panjang alasnya 5x dan tingginya 2x, tentukan tinggi jajar genjang tersebut

Jawab :

Diketahui :  L   = 250 cm2

a   = 5x

t    = 2x

ditanya : t =….?

Jawab : L = a x t

250 = 5x (2x)

250 = 10x2

250/10 =  x2

25 = x2

X = 5 cm

Jadi t = 2x= 2 (5) = 10 cm

  1. Buktikan bahwa diagonal Belah ketupat membagi-dua setiap sudut pada tiap titik sudut yang dilaluinya.

Diketahui Belah ketupat ABCD, AC adalah diagonal.

Pembuktian : AC membagi-dua < A dan< C.

Rencana : Buktikan  (1) < 1 dan < 2 kongruen dengan < 3

(2) < 3 dan < 4 kongruen dengan < 1.

Bukti :

Pernyataan Alasan
  1. ABCD adalah Belah ketupat
    1. AB     BC
    2. < 1    < 3
    3. BC ǁ AD, AB ǁ CD
    4. < 2     < 3, < 1    < 4
    5. < 1    < 2, < 3    < 4
    6. AC membagi-dua < A, dan < C
  1. Diketahui
  2. Belah ketupat adalah segiempat
  3. Dalam suatu segitiga, sudut-sudut dihadapan sisi-sisi yang kongruen adalah kongruen
  4. Sisi-sisi berhadapan pada jajar genjang adalah sejajar
  5. Sudut dalam berseberangan pada garis-garis sejajar adalah kongruen
  6. Bilangan-bilangan yang kongruen dengan bilangan yang sama adalah kongruen satusama lain
  7. Membagi menjadi dua bagian yang kongruen disebut membagi-dua

 

Belah Ketupat

  1. Diketahui : Jajar genjang ABCD panjang alas AB = b, panjang garis tinggi DE = h.

Untuk pembuktian : Luas = bh

Rencana : Ketika suatu garis tegak lurus ditarik ke bawah menuju alas, kemudian diperpanjang, terbentuk persegi panjang yang mempunyai alas dan garis-tinggi yang sama dengan jajar genjang tersebut. Dengan menambah segitiga-segitiga ke dalam luas yang dimiliki bersama, dapat dibuktikan bahwa luas persegi panjang dan luas jajar genjang adalah sama.

Bukti :

Pernyataan Alasan
  1. Buatlah CF﬩  AD
  2. CF ǁ DE
  3. AB ǁ CD
  4. < CFB dan < DEA adalah segitiga siku-siku
  5.  DCEF adalah persegi panjang
  6. AD    BC, CF    DE
  7. ∆ AED    ∆ BFC
  8. Luas (segiempat BCDE) = Luas (segiempat BCDE)
  9. Luas (∆ ABE) + Luas (segiempat BCDE) = Luas (∆ CFD) + Luas (segiempat BCDE)  atau Luas (persegi  panjang BCFE) = Luas

(      ABCD)

  1. Luas persegi panjang BCFE = bh
  2. Luas       ABCD = bh
  3. Melalui suatu titik luar, dapat dibuat garis yang tegak lurus dengan garis yang diketahui .
  4. Ruas garis tegak lurus dengan garis yang sama adalah sejajar.
  5. Sisi-sisi yang berhadapan dalam jajar genjang adalah sejajar.
  6. Garis-garis yang tegak lurus membentuk sudut siku-siku.
  7. Jajar genjang yang memiliki sudut siku-siku adalah persgi panjang.
  8. Sisi-sisi yang berhadapan dalam jajar genjang adalah sama.
  9. hip.kaki     hip.kaki
  10. Sifat refleksif (pencerminan)
  11. Jika sesuatu yang sama masing- masing ditambahkan ke sesuatu  yang sama, jumlah-jumlahnya akan sama.
  12. Luas persegi panjang = hasil kali panjang alas dan panjang garis tingginya.
  13. Postulat substitusi.

Ket.

  1. hip.kaki    hip.kaki = hip. (hipotenusa / sisi miring).
  2. Postulat substitusi = Suatu besaran dapat disubstitusi dengan sesuatu yang mempunyai kuantitas yang sama pada rumus atau persamaan manapun.
  1. Keliling belah ketupat ABCD=80 cm. Panjang diagonal AC=24 cm. Luas belah ketupat adalah…

Jawab:

Keliling belah ketupat   = 80 cm

4a            = 80

a =

OB = =  = 16

BD = 2 x OB = 32 cm

Luas belah ketupat    =  AC x BD

=  x 24 x 32

= 384 cm2

  1. Pada gambar dibawah ini panjang PS = (2x – 3) cm dan QR = 11 cm. Tentukan nilai x !

Jawab :

PS = QR

2x – 3 = 11

2x = 11+3

2x = 14

x = 14 / 2 , x = 7cm

  1. Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm & (2x + 3) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81cm2, tentukan nilai x

Jawab :

Diketahui : d1  = 18 cm

d2   = (2x + 3) cm

L   = 81 cm2

Ditanya : x =…?

Jawab : L         = ½ x d1 x d2

                                  81       = ½ x 18 x (2x +3)

81       = 9 (2x + 3)

81/9    = 2x + 3

9         = 2x + 3

9 – 3   = 2x

6         = 2x

6/2      = x

3         = x