Foto0159

BIDANG DATAR (JAJAR GENJANG, TRAPESIUM, DAN BELAH KETUPA)

PEMBAHASAN

JAJAR GENJANG

 

CD

 

AB

 

AB = CD → kongruen

Sehingga

  1. A.     Definisi


Segiempat dengan kekhususan yaitu sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

  1. B.     Prinsip-prinsip :
  2. Sisi berhadapan pada jajar genjang adalah sejajar.
  3. Diagonal jajar genjang membagi jajar genjang itu sendiri menjadi dua segitiga yang kongruen.
  4. Sisi-sisi berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen.
  5. Sudut-sudut berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen.
  6. Sudut-sudut berturutan pada jajar genjang adalah suplementer.
  1. Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua satu sama lain.

Bukti bahwa segiempat adalah jajar genjang

  1. Suatu segi empat (quadrilateral) merupakan jajar genjang jika sisi-sisinya yang berhadapan adalah sejajar.
  2. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika sisi-sisinya yang berhadapan  adalah sejajar.
  3. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika dua sisi-sisinya adalah kongruen dan sejajar.
  4. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika sudut-sudutnya yang berhadapan adalah kongruen
  5. Suatu segiempat merupakan jajar genjang jika diagonal-diagonalnya saling membagi dua satu sama lain.
  1. C.     Sifat-sifat (Teorema)
  2. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.

Bukti :

Perhatikan ∆ ABD dan ∆ CDB

BD = DB (sekutu)

< B1 = < D2 ( berseberangan dalam)

< D1 = < B2 ( berseberangan dalam)

Jadi ∆ ABD      ∆ CDB (sd, ss, sd)

Akibatnya AB = CD, AD = CB ( terbukti)

  1. Jumlah sudut pada satu sisi adalah 1800.

Bukti :

  1. Karena AB ǁ CD

< A dengan < D dan < B dengan < C merupakan sudut sepihak sehingga :

< A + < D = 1800(sudut sepihak dalam)

< B  + < C = 1800(sudut sepihak dalam)

  1. Karena AD ǁ BC

< A dengan < B dan < D dengan < C merupakan sudut sepihak sehingga :

< A + < B = 1800

< D + < C = 1800

Terbukti bahwa jumlah besar sudut-sudut yang berdekatan adalah 1800

  1. Luas jajaran genjang sama dengan hasil kali panjang sisi kali jarak sisi itu dengan sisi yang sejajar.

Bukti :

Cara I

Tarik garis DE ± AB, BF ± CD

∆ ADE dan ∆ BCF

AE = CF

AD = BC                                           KONGRUEN  (ss, ss, sd)

< E = < F

Maka L ∆ ADE  L ∆ BCF

Luas jajar genjang ABCD sama dengan luas persegi panjang EBFD ditambah dua kali L ∆ AED.

L ∆ AED          = 1/2 AE x DE

L        EBFD    = EB x DE

L        ABCD   = BE x DE + 2 x 1/2 AE x DE

= BE x DE + AE x DE

= (BE + AE) x DE

= AB x DE

Cara II :

∆ ADB      ∆ BCD, sehingga:

AB = CD

< A = < C                                          KONGRUEN (ss, sd, ss)

AD = BC

L ∆ ADB = 1/2  AB x DE

L ∆ BCD = 1/2  FB x CD

Karena ∆ ADB      ∆ BCD, maka L ∆ ADB = L ∆ BCD sehingga

L       ABCD   = L ∆ ADB + L ∆ BCD

= 2 x L ∆ ADB

= 2 x 1/2 AB x DE

= AB x DE

DE jarak dua sisi sejajar AB dan DC. Jadi terbukti luas jajar genjang sama dengan hasil panjang sisi kali jarak sisi itu dengan sisi yang sejajar.

  1. Pada setiap jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Bukti :

Perhatikan gambar dibawah ini. Kita akan membuktikan bahwa AB = CD, BC = AD, AB || DC, dan BC || AD.

∆ ABD      ∆ BCD, sehingga:

AD = BC

< A = < C                                            KONGRUEN (ss, sd, ss)

AB = CD

  • AB → CD maka AB = CD dan AB || CD (AB sejajar CD)
  • BC → DA maka BC = DA dan BC || DA (BC sejajar DA)

Jadi, terbukti bahwa AB sejajar dan sama panjang dengan CD serta BC  sejajar dan sama panjang dengan DA.

  1. Pada setiap jajar genjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Akan dibuktikan bahwa < A = < C dan < B = < D.

Perhatikan gambar di atas.

∆ ABD     ∆ CDB

< A = < C → BD = BD

< B = < D → CD = AB

Jadi, terbukti bahwa < A = < C dan < B = < D.

  1. Pada setiap jajar genjang kedua diagonal saling membagi-dua sama panjang yang berpotongan di satu titik.

Bukti :

< B1 = < D2 (berseberangan dalam) → AO = CO

< B2 = < D1 (berseberangan dalam) → CO = AO

< A1 = < C2 (berseberangan dalam) → DO = BO

< A2 = < C1 (berseberangan dalam) → BO = DO

Jadi terbukti kedua diagonal saling membagi-dua sama panjang yang berpotongan di satu titik.

.


BELAH KETUPAT

  1. A.    Definisi

Segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, serta perpotongan diagonalnya membentuk sudut siku-siku.  

  1. B.     Ciri-Ciri Belah Ketupat
    1. Mempunyai empat rusuk yang sama panjang
    2. Mempunyai dua buah sudut bukan siku-siku yang masing masing sama besar dengan sudut yang berada di hadapannya
    3. Mempunyai dua diagonal yang tidak sama panjang
    4. Mempunyai 2 simetri lipat dan dua simetri putar
  2. C.    Sifat-sifat (Teorema)
    1. Semua sisi pada setiap belah ketupat sama panjang.

Bukti :

Belah ketupat ABCD dibentuk dari dua buah segitiga sama kaki yang kongruen, yaitu ∆ ABC dan ∆ ADC.

∆ ABC     ∆ ADC

AB = AD

BC = CD                                       KONGRUEN (ss, ss, ss)

AC = AC

∆ ABC sama kaki, maka

AB = BC

∆ ADC sama kaki, maka

CD = AD

Maka : AB = AD = DC = AD (terbukti)

  1. Pada setiap belah ketupat diagonalnya merupakan sumbu simetri.

Bukti :

  1. ∆ ABC sama kaki dengan AB = CB, BO merupakan sumbu simetri.
  2. ∆ ADC sama kaki dengan AD = DC, DO maerupakan sumbu simetri.
  3. < BOC dan < COD berpelurus, maka BD merupakan sumbu simetri.
  4. < BOC dan < BOA berpelurus, maka AC merupakan sumbu simetri.
  5. Jadi terbukti BD dan AC merupakan sumbu simetri.
  6. Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Bukti :

Cara I.

  1. Letak belah ketupat ABCD dibalik menurut simetri BD

Maka < A→ < C sehingga :

< A = < C…..(1)

  1. Letak belah ketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC maka  < B → < D sehingga < B = < D…..(2)
  2. Dari (1) dan (2), maka :

< A = < C,  < B = < D (Terbukti)

Cara II

  • ∆ ABD     ∆ CBD, maka :

< A = < C → BD = BD (berimpit)

  • Segitiga yang membentuk belah ketupat ABCD merupakan segitiga sama kaki, maka dalam ∆ ABD, < ABD = < ADB  dan dalam   ∆ CBD, < CBD = < CDB.

< ABD = < ADB → AD = AB

< CBD = < CDB → CD = CB

  • ∆ BAC     ∆ DAC, maka :

< B = < D → AC = AC (berimpit)

  • Segitiga yang membentuk belah ketupat ABCD merupakan segitiga sama kaki, maka dalam ∆ BAC, < BAC = < BCA dan dalam   ∆ DAC, < DAC = < DCA.

< BAC = < BCA → BC = BA

< DAC = < DCA → CD = AD

Jadi, dalam belah ketupat ABCD terdapat < A = < C dan < B = < D. Sudut-sudut yang saling berhadapan dalam belah ketupat sama besar.

  1. Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya saling membagi-dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

Bukti :

Cara I

  • Misalkan O adalah titik tengah diagonal BD. Segitiga sama kaki ABD dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu     ∆ AOB dan ∆ AOD dengan AO sebagai sumbu simetri ∆ ABD,  BO = DO, < OAB = < OAD, dan < AOB = < AOD = 90o.

Serupa dengan cara di atas, CO adalah sumbu simetri dari ∆ CBD, < OCB = < OCD, dan < COB = < COD = 90o.

Hal ini berarti < AOB + < COB = 2 x 90o = 180o

< AOB + < AOD = 2 x 90o = 180o.

Jadi, AC dan BD merupakan diagonal ketupat.

  • Karena BD diagonal belah ketupat ABCD yang diperoleh dari pemutaran ∆ ABD pada garis BD maka : A → C, O → O sehingga AO → CO. Hal ini berarti AO = CO.

Cara II

< A1 = < C2 (berseberangan dalam) → BO = DO

< A2 = < C­1 (berseberangan dalam) → DO = BO

< B1 = < D2 (berseberangan dalam) → AO = CO

< B2 = < D1 (berseberangan dalam) → CO = AO

< AOB = < AOD =  < AOD = < COD = 90o (berpenyiku)

< BOD = 180o (berpelurus)

< AOC = 180o (berpelurus)

< COD = < AOD = 90o

< BOD = < AOB + < AOD = 2 x < AOB = 2 x 90o = 180o

< AOC = < AOD + < COD = 2 x < AOD = 2 x 90o = 180o

Jadi, AC dan BD merupakan diagonal ketupat yang saling membagi-dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

  1. Berdasarkan Luas Jajar Genjang

Bukti :

Karena belah ketupat merupakan jajar genjang, maka :

L Belah Ketupat = alas x tinggi

L = a x t

  1. Berdasarkan Luas Segitiga

Bukti :

Luas belah ketupat ABCD   = L ∆ ABD + L ∆BDC

= ½ BD x OA + ½ BD x OC

= ½ BD (OA + OC)

= ½ BD x AC

BD dan AC merupakan diagonal

Sehingga dapat disimpulkan :

Luas Belah Ketupat ABCD =  1/2 x diagonal x diagonal

 

 

 

 

PENUTUP

Kesimpulan

ü  Jajar Genjang adalah segi empat yang sepasang-pasang segitiga sejajar dan         sama panjang.

ü  Pada setiap jajaran genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

ü  Belah ketupat adalah segi empat yang sisi-sisinya sama panjang.

ü  Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

DAFTAR PUSTAKA

 

Gunawan, K. Adi, Roeswati. 2002. Tangkas Matematika SMP. Surabaya : Kartika Hartono. 2001. Geometri. Surabaya : UNESA University Prest

Nugraha, Setyo, Abu Tofani. 2008. Rumus-Rumus Matematika. Surabaya : Kartika.

Rich, Barnett. 2005. Geometri. Jakarta : Erlangga

http://www.proprofs.com/quis-school/story.php?title=belah-ketupat-layang-layang-rumadi (diakses : 12:30 WIB, 7-10-2011)

http://www.proprofs.com/quis-school/story.php?title=jajargenjang-dan-trapesium-rumadi (diakses : 12:30 WIB, 7-10-2011)

http://matematikaomson.blogspot.com/2009/07/luas-jajaran-genjang.html (diakses : 18:30 WIB, 10-10-2011)

http://duniamat.blogspot.com/2010/07/belah-ketupat.html (diakses : 18:40 WIB, 10-10-2011)

http://duniamat.blogspot.com/2010/07/jajar-genjang.html (diakses : 18:50 WIB, 10-10-2011)

Latihan Soal

 

Jajar Genjang

 

  1. Luas jajar genjang  PQRS pada gambar dibawah adalah 72  . PQ = 12 cm dan 8 cm . keliling PQRS ……..

Jawab :

Luas PQRS = QU x PS

72    = 8 x PS

PS    =

= 9

  1. Pada sebuah jajar genjang diketahui luasnya 250 cm2, jika panjang alasnya 5x dan tingginya 2x, tentukan tinggi jajar genjang tersebut

Jawab :

Diketahui :  L   = 250 cm2

a   = 5x

t    = 2x

ditanya : t =….?

Jawab : L = a x t

250 = 5x (2x)

250 = 10x2

250/10 =  x2

25 = x2

X = 5 cm

Jadi t = 2x= 2 (5) = 10 cm

  1. Buktikan bahwa diagonal Belah ketupat membagi-dua setiap sudut pada tiap titik sudut yang dilaluinya.

Diketahui Belah ketupat ABCD, AC adalah diagonal.

Pembuktian : AC membagi-dua < A dan< C.

Rencana : Buktikan  (1) < 1 dan < 2 kongruen dengan < 3

(2) < 3 dan < 4 kongruen dengan < 1.

Bukti :

Pernyataan Alasan
  1. ABCD adalah Belah ketupat
    1. AB     BC
    2. < 1    < 3
    3. BC ǁ AD, AB ǁ CD
    4. < 2     < 3, < 1    < 4
    5. < 1    < 2, < 3    < 4
    6. AC membagi-dua < A, dan < C
  1. Diketahui
  2. Belah ketupat adalah segiempat
  3. Dalam suatu segitiga, sudut-sudut dihadapan sisi-sisi yang kongruen adalah kongruen
  4. Sisi-sisi berhadapan pada jajar genjang adalah sejajar
  5. Sudut dalam berseberangan pada garis-garis sejajar adalah kongruen
  6. Bilangan-bilangan yang kongruen dengan bilangan yang sama adalah kongruen satusama lain
  7. Membagi menjadi dua bagian yang kongruen disebut membagi-dua

 

Belah Ketupat

  1. Diketahui : Jajar genjang ABCD panjang alas AB = b, panjang garis tinggi DE = h.

Untuk pembuktian : Luas = bh

Rencana : Ketika suatu garis tegak lurus ditarik ke bawah menuju alas, kemudian diperpanjang, terbentuk persegi panjang yang mempunyai alas dan garis-tinggi yang sama dengan jajar genjang tersebut. Dengan menambah segitiga-segitiga ke dalam luas yang dimiliki bersama, dapat dibuktikan bahwa luas persegi panjang dan luas jajar genjang adalah sama.

Bukti :

Pernyataan Alasan
  1. Buatlah CF﬩  AD
  2. CF ǁ DE
  3. AB ǁ CD
  4. < CFB dan < DEA adalah segitiga siku-siku
  5.  DCEF adalah persegi panjang
  6. AD    BC, CF    DE
  7. ∆ AED    ∆ BFC
  8. Luas (segiempat BCDE) = Luas (segiempat BCDE)
  9. Luas (∆ ABE) + Luas (segiempat BCDE) = Luas (∆ CFD) + Luas (segiempat BCDE)  atau Luas (persegi  panjang BCFE) = Luas

(      ABCD)

  1. Luas persegi panjang BCFE = bh
  2. Luas       ABCD = bh
  3. Melalui suatu titik luar, dapat dibuat garis yang tegak lurus dengan garis yang diketahui .
  4. Ruas garis tegak lurus dengan garis yang sama adalah sejajar.
  5. Sisi-sisi yang berhadapan dalam jajar genjang adalah sejajar.
  6. Garis-garis yang tegak lurus membentuk sudut siku-siku.
  7. Jajar genjang yang memiliki sudut siku-siku adalah persgi panjang.
  8. Sisi-sisi yang berhadapan dalam jajar genjang adalah sama.
  9. hip.kaki     hip.kaki
  10. Sifat refleksif (pencerminan)
  11. Jika sesuatu yang sama masing- masing ditambahkan ke sesuatu  yang sama, jumlah-jumlahnya akan sama.
  12. Luas persegi panjang = hasil kali panjang alas dan panjang garis tingginya.
  13. Postulat substitusi.

Ket.

  1. hip.kaki    hip.kaki = hip. (hipotenusa / sisi miring).
  2. Postulat substitusi = Suatu besaran dapat disubstitusi dengan sesuatu yang mempunyai kuantitas yang sama pada rumus atau persamaan manapun.
  1. Keliling belah ketupat ABCD=80 cm. Panjang diagonal AC=24 cm. Luas belah ketupat adalah…

Jawab:

Keliling belah ketupat   = 80 cm

4a            = 80

a =

OB = =  = 16

BD = 2 x OB = 32 cm

Luas belah ketupat    =  AC x BD

=  x 24 x 32

= 384 cm2

  1. Pada gambar dibawah ini panjang PS = (2x – 3) cm dan QR = 11 cm. Tentukan nilai x !

Jawab :

PS = QR

2x – 3 = 11

2x = 11+3

2x = 14

x = 14 / 2 , x = 7cm

  1. Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm & (2x + 3) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81cm2, tentukan nilai x

Jawab :

Diketahui : d1  = 18 cm

d2   = (2x + 3) cm

L   = 81 cm2

Ditanya : x =…?

Jawab : L         = ½ x d1 x d2

                                  81       = ½ x 18 x (2x +3)

81       = 9 (2x + 3)

81/9    = 2x + 3

9         = 2x + 3

9 – 3   = 2x

6         = 2x

6/2      = x

3         = x

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s